ALJABAR BOOLEAN

URAIAN MATERI
A. Aljabar Boolean

Suatu bentuk variabel biner dapat bernilai 0 atau1. Suatu fungsi bolean adalah suatu pernyataan yang dibentuk dengan variabel-variabel biner, operator AND, OR, NOT, tanda kurung, dan sama dengan. Untuk nilai-nilai variabel yang diketahui, fungsi itu dapat bernilai 0 atau 1. Dalam aljabar boolen digunakan dua konstanta yaitu logoka 1 dan logika 0. Kedua konstanta tersebut bila diterapkan dalam rang kaian logika akan berupa taraf tegangan. Yakni taraf tegangan rendah dan taraf tegangan tinggi.

Jika taraf tegangan tinggi dinyatakan dengan logika 1 dan taraf tegangan rendah dinyatakan dengan 0, maka disebut dengan penerapan logika positif. Jika taraf tegangan tinggi dinyatakan dengan logika 0 dan taraf tegangan rendah dinyatakan dengan 1, maka disebut dengan penerapan logika negatif. Teori-teori aljabar boolean ini merupakan aturan-aturan dasar hubungan antara variabelvariabel boolean. Aturan ini digunakan untuk memanipulasi dan menyederhanakan suatu rangkaian logika ke dalam bentuk yang bervariasi.
Adapun teori-teori aljabar boolean ini dapat kita rangkum menjadi bentuk-bentuk seperti berikut ini:
Dalil-dalil Boolean (Boolean postulates)
P1: X= 0 atau X=1
P2: 0 . 0 = 0
P3: 1 + 1 = 1
P4: 0 + 0 = 0
P5: 1 . 1 = 1
P6: 1 . 0 = 0 . 1 = 0
P7: 1 + 0 = 0 + 1 = 1

Theorema Aljabar Boolean
T1: Commutative Law
a. A + B = B + A
b. A . B = B . A

T2: Associative Law
a. ( A + B ) + C = A + ( B + C )
b. ( A . B ) . C = A . ( B . C )

T3: Distributive Law
a. A . ( B + C ) = A . B + A . C
b. A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C )

T4: Identity Law
a. A + A = A
b. A . A = A

T5: Negation Law
1. ( A’ ) = A’
2. ( A’ )’ = A

T6: Redundant Law
a. A + A . B = A
b. A . ( A + B ) = A

T7: Identity law
a. 0 + A = A
b. 1 . A = A
c. 1 + A = 1
d. 0 . A = 0

T8: Negation law
a. A’ + A = 1
b. A’ . A = 0

T9: Redundace law
a. A + A’ . B = A + B
b. A . ( A’ + B ) = A . B

T10: De Morgan’s Theorem
a. (A+B)’ = A’ . B’
b. (A . B)’= A’ + B’

B. Penyederhanaan fungsi logika dengan K-Map
Salah satu metode penyederhanaan fungsi logika untuk maksimal 4 variabel dapat dilakukan dengan metode KMap (Karnaugh Map).Sebab jika lebih dari 4 variabel kita menggunakan metode Quine Mc Cluskey.
Adapun contoh penyederhanaan fungsi logika dengan menggunakan K-Map adalah sebagai berikut:
Contoh:
Sederhanakan fungsi logika dengan 3 variabel berikut ini : Karena bentuk ekspresi fungsi diatas adalah SOP maka pada matrik K-Map kita letakkan angka 1. Sehingga K -Map tersebut akan tampak seperti:
sehingga dari K-Map tersebut didapat penyederhanaan fungsi sebagai berikut:
Contoh 2.1:
Sederhanakan fungsi logika dengan 4 variabel berikut ini :
Maka K-Map akan berbentuk seperti :
sehingga dari K-Map tersebut didapat penyederhanaan fungsi sebagai berikut:
contoh 2.2:
Sederhanakan fungsi logika dengan 4 variabel berikut ini :
karena bentuk ekspresi fungsi diatas adalah POS, maka kita tempatkan 0 pada K- Map. Sehingga K -Map akan tampak seperti berikut:
hasil penyederhanaan K-Map adalah:

C. Penyelesaian logika dari tabel kebenaran dengan menggunakan metode SOP dan POS dan implementasi pada rancangan rangkaian logikanya.

Jika diberikan suatu tabel kebenaran dari suatu kasus maka kita bisa menggunakan metode SOP atau POS untuk merancang suatu rangkaian kombinasionalnya. Seperti yang telah dijelaskan diatas. Untuk menentukan suatu rancangan biasanya kita menghendaki suatu rancangan yang paling efisien. Dengan adanya tabel kebenaran kita dapat menentukan mana diantara metode yang paling efisien untuk diimplementasikan. Untuk menentukan metode mana yang paling efisien, kita lihat bagian output pada tabel kebenaran tersebut. Jika jumlah output yang mempunyai nilai 1 lebih sedikit dari jumlah output yang mempunyai nilai 0, maka kita bisa menentukan bahwa metode SOP yang lebih efisien. Jika jumlah output yang mempunyai nilai 0 lebih sedikit dari jumlah output yang mempunyai nilai 1, maka kita bisa menentukan metode POS yang lebih efisien.

Kadangkala suatu hasil dari tabel disajikan dalam bentuk fungsi. Dan kita akan mengenal symbol "Σ" melambangkan operasi SOP sehingga yang ditampilkan adalah output yang mempunyai nilai 1 dan symbol "Π" melambangkan operasi POS sehingga yang ditampilkan adalah ouput yang mempunyai nilai 0. Contoh: F( A, B, C ) = Σ ( 0, 3, 5, 7 ) Maksud dari fungsi diatas adalah fungsi tersebut mempunyai 3 variabel input dan output yang mempunyai nilai 1 adalah 0, 3, 5, dan 7 (tanda Σ melambangkan SOP). Jika fungsi yang disajikan adalah: F( A, B, C ) = Π ( 0, 3, 5, 7 ) Maksudnya adalah fungsi tersebut mempunyai 3 variabel Modul Teknik Digital Laboratorium Teknik Digital SMK Telkom Sandhy Putra Malang input dan output yang mempunyai nilai 0 adalah 0, 3, 5, dan 7 (tanda Π melambangkan POS). Buatlah rangkaian kombinasional untuk mengimplementasikan tabel kebenaran berikut :

A B C OUTPUT
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1

Karena output dengan nilai 1 lebih sedikit maka kita gunakan metode SOP. Dan untuk teknik penyederhanaannya kita langsung gunakan K-Map (karena masih 3 variabel). Sehingga K-Map akan berbentuk:
Ekspresi fungsi logikanya dari hasil K-Map tersebut adalah:


Karena bentuk fungsi logikanya adalah SOP kita dapat merancang rangkaian kombinasionalnya dari gerbang NAND saja, yaitu dengan cara memberi double bar pada fungsi tersebut kemudian operasikan bar yang terbawah. Fungsi akan menjadi:

Sehingga rangkaian kombinasionalnya menjadi:
Contoh :
Buatlah rangkaian kombinasional untuk mengimplementasikan tabel kebenaran berikut ini :

A B C OUTPUT
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1

Karena output dengan nilai 0 lebih banyak maka kita gunakan metode POS. Sehingga K-Map akan terbentuk :

Ekspresi fungsi logikanya dari hasil K-Map tersebut adalah:
Dari fungsi logika tersebut kita dapat merancang rangkaian kombinasionalnya dari gerbang NOR saja dengan cara memberi double bar kemudian bar terbawah dioperasikan sehingga:
Dan rangkaian kombinasionalnya: